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グラフと数式はペアで理解

 
　数値を羅列して理解できないことも、グラフでは
　すぐにわかることがあります。

　数値を並べて、方眼紙に数値を点でプロットした
　グラフにするのは面倒。コンピュータを使います。

　中学、高校であつかう数式とグラフに限定して
　コンピュータでの描画は、他のページで説明。



放物線

　放物線のグラフは、単純で以下。



　この図は、放物線という用語を意識しています。

　質量のある物体を投擲すると、ある高さと距離を
　もった曲線を描く。

　これが、物理上の解釈になり、North Koreaが開発
　に躍起になっている、大陸間弾道爆弾の姿です。

　地表から大陸間弾道爆弾を打ち出すと、地球の自転に
　よるコリオリ力、曲面上での距離、大気の空気抵抗を
　考慮して到達位置を算出します。

　大陸間弾道爆弾の技術を利用すれば、ロケットの
　「コウノトリ」を実現できます。

　ロケットの「コウノトリ」は、ISSに物資を運び
　ISSの廃棄物を大気の摩擦熱で燃焼させてます。

　爆弾を運ぶのと必要物資を運ぶのとでは、意味が
　異なりますが、運ぶという点では一致します。

　放物線は、頂点をもっています。

　この場合、放物線の数式は、以下。

　y = α(x-x0)^2 + y0　αは0ではない実数

　αが正のときは、上に凸の放物線といいます。
　αが負のときは、下に凸の放物線といいます。

　到達距離を考えてみます。

　x0は、物体を投擲したときと落下したときの
　中点になります。

　物理では、最高到達点がわかれば、水平方向の
　おおよその移動距離を算出できます。

　最高到達点は、計算で求められますが。頂点の
　座標は(x0,y0)になります。

　２次元では、これでよいのですが、野球の本塁打
　では、３次元のために軸をひとつ追加して対応。

　放物線を利用した身近な製品は、パラボラアンテナ。

　パラボラアンテナは、電波をある点の近傍に集めます。
　焦点があるのが、ある点の近傍になります。

　大陸間弾道爆弾が垂直方向を考えるのに対して
　パラボラアンテナは、垂直方向か水平方向から
　の傾きを問題にします。

　水平あるいは垂直方向からの傾きを持って考えるのは
　面倒なので、水平方向から見た図で考えます。



　焦点を使って放物線の式を考えるときは
　準線と焦点を導入して表現します。

  準線 x=-p，焦点(p,0) に対して，準線と焦点からの
　距離が等しい点の集合は放物線 y=sqrt(4px) になる。

　xy平面で焦点のy座標を０にするために、準線を
　図の左側にもってきます。焦点のｙ座標が０と
　いうことは、焦点はx軸上に存在することになります。



　図からわかるように、準線と焦点を通る直線
　x=-pとx=+pの中点を通る直線がy軸になります。

　放物線 y=sqrt(4px) としているので、準線は２つある
　ことになりますが、焦点側ではないと定義します。

　放物線を焦点、準線を使って表現できることを
　利用すると、宇宙空間で「スイングバイ」航法
　に応用できます。

　「スイングバイ」を利用すると、方向を変える
　速度を変えるが、わずかなジェット噴射で実現
　可能になります。

　質量のある物体の釣合いと万有引力の法則を使い
　向心力と遠心力の釣合いをジェット噴射で換えて
　宇宙機の速度を増すか減らしていきます。

　映画の「star treck」で、宇宙機の「USS enterpize」を
　タイムマシンにして過去に跳躍するシーンがありました。

　「スイングバイ」を利用し、少ない燃料を使って加速する
　物理的な実現性を議論する場面が印象に残ってます。



直線

　考えやすくするために、「y=x」を考えていきます。
　グラフにすると、以下。



　数式を変形してみると、「y=(x-0)+0」と書けます。

　原点(0,0)を通る直線で、傾きが１である直線は
　「y=(x-0)+0」となり、「y=x」と変形できる。

　これが、直線の定義になります。

　もし、点(x0,y0)を通り、傾きαをもつ直線では
    y=α(x-x0)+y0
　と書けます。傾きαは、０ではない実数という条件が必要。

　傾きαの絶対値|α|が大きくなると、直線はxy平面上では
　ｙ軸に近づき、絶対値|α|が小さくなるとｘ軸に近づきます。

　この傾きの性質を使っているのが、電車や自動車の座席に
　あるリクライニングシート。

　傾きを表すときは、ｘ方向とｙ方向の移動距離の
　比率を利用した勾配を使う時とｘ軸と直線が作る
　角度を利用する２つの方式があります。

　勾配を使う例では、1000m進んで上下にどれだけ
　移動するのかを表すパーミルを使ったり、100mを
　移動して、上下にどれだけ移動するのかを示す
　パーセントがあります。

　直線「y=x」は、100m進んで100m上に移動するので
　比率で100/100=1でもよいですが、角度ではｘ軸と
　45度の角度を作っています。

　直線の傾きを三角関数では、tan(45)=1/1=1として
　表現します。また、cos(45)=sin(45)=1/sqrt(2)で
　斜面の長さから見たときの比率を表します。



　直線が点(x0,y0)を通る場合、点(x0,0)はx切片と呼び
　直線とｘ軸の交点座標になる。点(0,y0)はy切片と呼び
　直線とｙ軸の交点座標になる。

　x切片、y切片を変えると、傾きを変えずに直線は平行移動する。

　この性質を利用しているのが、航空会社のLCC。
　座席は、レールに載せられてA320ならば166席を
　180席程度まで増やせるようにしています。

　傾きを持った直線を平行移動で、いくつも描いていくと
　航空機の客室にあてる胴長で、詰め込める座席数を計算
　して、採算があう座席数を算出できます。

　LCCの航空機の座席は、リクライニング可能な範囲が狭く
　前後の乗客でトラブルが起こらない仕様にしています。



曲線

　直線は、線形性をもつと言って、次の条件をみたします。

　f(ax+by)=af(x)+bf(y)

　線形性があるので、分解して計算して最後に結合しても
　結果は同じになります。

　曲線の場合は、線形性がないので、分解の仕方が
　異なると、最後に結合しても結果は異なります。

　世の中にある計算は、だいたい「線形性をもつ」と
　近似して扱うのが大部分です。このカラクリを暗黙
　の約束で扱わないと、頓珍漢な事件に発展します。

　曲線には、いろいろな種類がありますが、物質の性格
　を表現することが多いので、グラフと数式をペアにし
　理解しておきたもの。

　５種類ほど、数式とグラフの関係を見ていきます。

　 y = 1 / (x-p) 

　　y = 1 / (x-p)　をグラフで表現すると、以下。




　　点(p,0)に近づくと、値が無限大か無限小になるので
　　この点を極と呼びます。

　　北極、南極と同じで、ある物理量が収束するか発散する
　　点を極と呼びます。約束事なので、他人と話をするとき
　　は、頭の中で定義を反芻して理解しておかないと辻褄の
　　合わない会話になります。

　　どんな性質があるのかリスト。

　　２つ目に書いた内容を、身近な例に当てはめると
　　旅客機の離陸と着陸で使う曲線になります。
　　この場合、ｘの値は正だという条件が追加されます。

　 y = 1 / x*x 

　　y = 1 / x*x をグラフで表現すると、以下。



　　y = 1 / (x-p) と比べて、極を持つのは同じですが
　　極はｙ軸となり、値は無限大になります。

　　極に近づくにしろ、遠ざかるにしろ、どちらも
　　値の変化が激しい。

　　こんな性質をもっています。

　　y = 1 / x*x から y = 1 / (x-p)*(x-p)　にすると
　　極がｙ軸ではない可能性があります。pが０でないと
　　いう条件をつけると、極はｙ軸でなくなります。

　　身近な例では、山を描くときに使います。
　　Computer Graphicsを扱えば、意味がわかるでしょう。

　 y = 1 / (x-p)*(x-q) 

　　y = 1 / (x-p)*(x-q) では、pとqが異なれば、極を
　　２つ持ちます。pとqが同じなら、極はひとつです。

　　y = 1 / (x-p)*(x-q) で、pとqが異なればグラフは以下。



　　面倒なので、ｘが正の場合だけ描いていますが
　　精密なグラフにしたければ、コンピュータの
　　表計算ソフトのグラフ描画機能を利用します。

　　y = 1 / (x-p)*(x-q) は、２項に分解して表現できます。

　　y = 1 / (x-p)*(x-q) 
      = {1 / (p+q)}[{ 1 / (x-p) } + { 1 / (x-q) }]

　　と変形すれば、y = 1 / (x-p) と y = 1 / (x-q) の
　　合成になります。

　 y = ax^2 

　　y = ax^2 において、係数 a が０でないとすると
　　上に凸の放物線(a>0)か下に凸の放物線(a<0)に
　　なります。

　　放物線の頂点は(0,0)という座標になりますが
　　頂点を(p,q)にしたとき、グラフは平行移動で
　　ｘｙ平面上を移動していきます。

　　頂点を(p,q)としたときの式は、y-q = a(x-p)^2 で
　　ｘ方向、ｙ方向の減算を採用するだけ。

　　放物線は、パラボラと言われるので、アンテナや
　　スピーカに使われる形状だとわかると、親近感が
　　増すかも知れません。

　　惑星の運動を表現する「ケプラーの法則」でも
　　楕円軌道の一部は、放物線を描くことが示され
　　天文学の研究に使わます。

　 y = am^x 

　　y = am^x において、係数 a が０でないとすると
　　mが正であるか負であるかで曲線の形状がガラリ
　　とかわります。

　　a > 0 , m > 1

　　　ｘが０以上の整数で考えると、ｘが大きくなるに
　　　つれてｙも大きくなります。



　　a > 0 , 1 > m > 0

　　　ｘが０以上の整数で考えると、ｘが大きくなるに
　　　つれてｙは小さくなります。



　　a > 0 , 0 > m 

　　　ｘが０以上の整数で考えると、ｘが偶数、奇数で
　　　ｘ軸を境界にし、上下に跳ね飛び回るようになり
　　　ます。ただし、mは-1ではないという条件が必要
　　　ですが。

　　　m = -1 では、上下に同じ距離だけ振動。



　　　-1 > m では、振動の幅が大きくなります。



　　　0 > m > -1 では、振動の幅が小さくなります。
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