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インド式計算公式解明

 
　一頃、インド式計算がブームになって、いろいろな
　計算ドリルの本が発売されていました。




　簡単に計算するための手順があり、それに従って
　練習問題を解いていくドリルになっていますが
　義務教育の算数、数学を理解できていればドリル
　の本を使うこともないのにと思いました。

　インド式計算公式を解明してみます。

　電卓を使わないで、概算を求めたい場合には
　インド式計算公式を適用しますが、算盤での
　計算の基本になっています。




インド式「５」の乗算／除算


　これは、次のような手順で計算するとなっています。

乗算　→　１０をかけて２で割る
除算　→　２をかけて１０で割る

　「５」を１０を利用した分数で表現すると「１０／２」。

　乗算では、そのまま使えば、「１０をかけて２で割る」

　除算は、乗算に置き換えて対応できます。

　除算では、「５」を逆数にすると「２／１０」なので
　乗算に置き換えて「２をかけて１０で割る」

　分数に置換し、除算を乗算で計算することの意味を
　理解すれば、公式とは呼べず、単なる便法の範疇に
　なっています。




インド式「２５」の乗算／除算


　これは、次のような手順で計算するとなっています。

乗算　→　１００をかけて４で割る
除算　→　４をかけて１００で割る

　「２５」を１００を利用した分数で表現すると「１００／４」。

　「５」を乗算する、「５」で除算するという計算便法の
　内容がわかっていれば、理解は簡単でしょう。




インド式「３」の乗算


　これは、次のような手順で計算するとなっています。

元の数を２倍して、さらに、元の数を加算

　「３」は「２＋１」と置き換えれば、元の数がｘであれば
　次のように計算できます。

  3*x = (2+1)*x = 2*x + x

　分配の法則を利用しているだけとわかります。




インド式「６」の乗算


　これは、次のような手順で計算するとなっています。

元の数を３倍して、さらに、２倍する

　「６」は「３ｘ２」と置き換えれば、元の数がｘであれば
　次のように計算できます。

  6*x = 3*2*x = (3*x)*2

　素因数に分解して、単純に乗算しているとわかります。




インド式「７」の乗算


　これは、次のような手順で計算するとなっています。

元の数を８倍して、元の数を引く

　「７」は「８−１」と置き換えれば、元の数がｘであれば
　次のように計算できます。

  7*x = (8-1)*x = 8*x - x

　２のべき乗と減算に分解して、計算しているとわかります。




インド式「９」の乗算


　これは、２つの手順を紹介しています。

元の数を８倍して、さらに、元の数を加算
元の数を１０倍して、さらに、元の数を減算

　「９」は「８＋１」あるいは「１０−１」と置き換えれば
　元の数をｘとして、次の計算になります。

  9*x = (8+1)*x = 8*x + x
  9*x = (10-1)*x = 10*x - x

　１０倍は元の数の右に０をひとつ追加するだけなので
　「１０−１」を適用する方が簡単かも知れません。

　これを発展させれば、物理で使う9.8倍は、次のような
　計算方法を利用すればよいとわかります。

  9.8*x = 98*x/10 = (100 - 2)*x /10

  元の数を１００倍し、さらに、２倍した値を減算。
　それを１０で除算。

　１００倍することは、元の数の右に０を２つ付けるだけ。
　２倍は加算を２回で求められます。
　１／１０倍は、小数点の「comma」を左にひとつずらす
　だけです。慣れると、頭の中で計算が終わります。

  コンピュータを利用して計算させるとき、精度を維持
　しながら、スピードを上げるために、２のべき乗の値
　を使うことがあります。

　インド式計算公式のような手順を適用して精度を維持し
　速度を向上させることを狙っています。




インド式九九


　インドの学校では、日本の九九に相当する乗算値の
　暗記は、２桁と２桁までになっているそう。

　覚えるべき内容が多い情報化時代には、そぐわない
　ような気がします。

　次の公式を適用すれば、日本の九九で充分なはず。

  x*y = (10a+b)*(10c+d)
      = 100*a*c + 10*a*d + 10*b*c + b*d
      = 100*(a*c) + 10*(a*d+b*c) + b*d
      = (a*c)*100 + (a*d+b*c)*10 + b*d
      = (a*c)*100 + b*d + (a*d+b*c)*10

　２桁の自然数が２つあれば、３段階で数値を
　計算して合算すれば、インド式九九は求めて
　いけます。

　手順は、以下。

    

  1. 10の位同士の積に０を２つ右に追加

  2. １の位同士の積を計算

  3. たすき掛けで数値の積を求め加算し、０を１つ右に追加

  4. １から３の数値を合算


　言葉では複雑ですが、紙に書き出してみると簡単。



　14x16は、次のように計算できます。

    

  1. 1x1            -> 100

  2. 4x6            ->  24

  3. 1x6 + 4x1 = 10 -> 100

  4. 合算           -> 224
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