数式の意味を理解しておこう
数学や物理では、数式を利用して現象を説明します。 数式で現象を説明するので、数式が表現している 内容を正しく理解することが大切です。 ですが、単位取得のみに目を向けて成績はよいが、数式 の意味をまったく理解していない学生が多かったです。 AO入試で学生を集めるのはよいですが、学生と直接顔を あわせて、講義、実習する教員は大変だなあと心配です。 数式が表現している内容を５例挙げて説明します。
1+2+...+n=n(n+1)/2 この数式は、数列の公式として教科書に載っています。 １から10までの和は55ですが、公式を利用すると次の ように簡単に計算できます。 1+2+...+10=10(10+1)/2=5*11=55 この数式は、小学校では組体操で使われます。 図で見れば、長方形の面積を求められれば導けます。長方形の辺々の長さをN、Mとすれば、面積はNM。 その半分がNM/2で、求める数式になります。 Mを(N+1)にすると、N(N+1)/2で公式になります。 公式を利用すると、お供えに使われる最中の数を 段数がわかれば、即座に計算できます。下図では ３段あるので、3(3+1)/2=6と計算できます。
小学校の運動会にある組体操をやろうとしましょう。 ５段で何人必要かは公式で即座に計算できます。
数学から物理に話を変えてみましょう。 最下段の中央にいる人間が、どれくらいの重量を 背負っているのかを求めてみます。 人間一人の体重を35kgで一律で計算します。 頂点から４段分の重量がかかります。 奇数段の重量は35kg、偶数段の重量は35kg/2 加算すると 35+35/2+35+35/2 = 35 x 3 = 105 単純な計算でも、最下段の中央にいる人間には 105kgの重量がかかります。 小学校の教員の方々は、大学卒業で教員試験を 通過しているのでしょうが、この程度の計算が 出来ないのでしょうか。事故の記事を見るたび 思います。 人間一人の体重を一律として大雑把に計算して いますが、単純計算しても100kg近くの重量が かかるとわかります。更に、段数を増やして 10段などというと、トンでもない重量と理解 できるでしょう。 自分が子供の保護者なら、こんな計算もできない 学校に義務教育とは言え、子供を通学させたくは ないです。 どこぞの県の教育委員会のように、賄賂で教員 試験の結果を改竄させるところもありますが 賄賂の計算はできても、物理関係の計算はでき ないのかも知れません。
y=a(x-f)^2 この数式は、放物線を表現する式と即座に答える 学生が殆どでした。 係数ａが実数で０でないとき、放物線の式になります。 場合分けをしないと、その式が放物線を表現するのか ｘ軸そのものかを答えられないでしょう。 a>0のときは、下に凸の放物線になり、頂点座標は(f,0)。 a=0のときは、y=0でｘ軸そのもの。 a<0のときは、上に凸の放物線になり、頂点座標は(f,0)。 これらをまとめると、図では次のようになります。実数の範囲で計算すると、放物線の式になるとき 係数ａが正か負かで、取り得る範囲値が確定する ことがわかります。 入学試験等で知っていると、精神的な余裕が生まれます。
Euler式 Euler式は、次のように単純。図で表現して見れば、意味が理解できます。
複素平面にｒという棹の長さを持ったベクトルが あれば、余弦成分は実軸に投影され、正弦成分は 虚軸に投影される。 棹の長さが１であれば、Euler式になります。 実軸と棹の間に存在する角度が偏角A。 偏角Aは、棹の長さであるｒと別の物理量になります。 複素平面にあるベクトルは、ｒという棹の長さになり ますが、棹の長さはピタゴラスの定理で求められます。
微分と接線 ２次関数y=(x-f)^2を、ｘに関して微分すると 導かれる関数（導関数）は、dy/dx=2(x-f)。 導関数値が０になるのは、x=fだけ。 放物線の場合は、頂点を表現する座標値。 頂点では、接線の傾きが０になっています。 関数のもつ次数を２から３、４、５と上げていくと 接線の傾きが０となる処が増えることがあります。 そこで、極値という概念を入れます。 極値は、区切った範囲における頂点の座標の一部を 示すことになるので、最大値、最小値という用語は 使わないで、概念を表現します。 接線の傾きが０となる処は、範囲を限定すると頂点や 最大値、最小値を表現します。それを極値という用語 で置き換えます。最大値、最小値は、範囲を拡大した ときに、不適切な単語になるので、極値と言っている だけ。 この理解ができると、極値は車で坂を移動した場合に 移動範囲を限定した最高点や最低点を表すことと等価。 極値と極のちがいを間違えないようにしておきます。 接線の傾きが０となる処がもつ値が極値。 極では、その地点での値が無限大か無限小です。 y=(x-a)/(x-p)という式があるときに、極を取る点はx=pです。 y=1/[(x-p)(x-q)]という式では、極を取る点はx=p、q。
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