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倒立振子シミュレーション

　アナログコンピュータは、微分方程式を解くために
　開発されたので、微分方程式の例として倒立振子の
　動作を扱ってみます。



　棒の下に車輪をつけ、棒が倒立した状態を
　維持するように制御します。

　倒立振子の制御は、デジタルコンピュータを利用するのが
　定番ですが、動作を解析するには、アナログコンピュータ
　の方が簡単だと考えられます。

　フィードバック制御になるので、フィードバック制御の
　基本と言えば、PIDでしょう。

　PID制御のブロック図は、以下のようになります。



　PIDは、Propotional、Integral、Differenceの３要素で
　比例、積分、微分となり、入力に減算器、出力に加算器
　を配置します。

　これらの要素をOPアンプで構成すると、以下。

　加算



　減算



　比例（倍率器）



　積分



　微分



　PID制御の組み合わせは、次のようになります。



　このPID制御回路は、実際には使えません。

　機械要素を含んだ場合、対象に操作量を与えても、反応が
　かえってくるのは、それなりの時間がかかります。

　応答時間が遅れることを考慮し、フィードバック部分に
　無駄時間を入れて対応します。



　ブロック図（＝PID制御回路）が出来たので、実際の倒立振子に
　対応させるために、対象の運動を方程式にまとめます。

　フィードバック制御の場合、目標値と観測値の偏差をゼロに
　する動作ができればよいとします。

　振動なく滑らかに静止するとか、振動があってもよいから
　目標値に高速で到達するとかの指標は、偏差をゼロにする
　までのプロセスに関連するので、偏差をゼロにする動作を
　実現させます。

　目標値と観測値に何を利用するかとなれば、倒立振子に
　存在する棒の角度になります。

　鉛直方向からはかった棒の傾き角度をゼロにするのが
　目的になるので、目標値は角度ゼロとします。



　観測値は、棒の傾き角度を使えばよいので、偏差を
　求める回路は、次のように定義できます。



　アナログコンピュータで扱う物理量は、電圧や電流なので
　電圧に変換して偏差を表現します。

　角度を電圧量に変換するには、ポテンショメータで角度→
　抵抗値→電圧値と変換します。

　アナログコンピュータによるシミュレーション
　では代用の可変抵抗器Volumeを使います。



　ポテンショメータは、可変抵抗器に比べて高価なので
　シミュレーションのような仮想環境で利用するには
　ふさわしくないでしょう。

　電圧を出力する回路であれば何でもよいので、PSoCや
　PICのようなマイコンを使うこともできます。

　倒立振子の動作をシミュレーションするには、次の
　ような無駄時間を生成する回路を使います。



　積分回路（１次ローパスフィルタ）を多段接続して
　与えた電圧が、ある時間差を持って出力されるよう
　にします。

　時間差は時定数を抵抗値と静電容量値の積で求められるので
　対象を実現しやすいという長所があります。

　抵抗値は、金属皮膜抵抗を利用すると１％程度は確保できます。
　また、静電容量は10％程度の精度のデバイスしか入手できない
　ですが、可変抵抗器を利用して調整できます。

　実際の倒立振子があればステップ応答を入れ、角度が
　どういう値になるのか、電圧値で測定します。



　ユニット電圧を入力して、少し時間が経過してから
　出力電圧値が変化をはじめるので、変化開始までの
　時間を、積分回路（１次ローパスフィルタ）で生成
　します。

　倒立振子を２輪で実現する場合、角度の変化を検出後
　モーターを回す信号を与えたとしても、メカなので
　即座に動けるわけでもないため、無駄時間を入れます。

　角度変化を電圧で出力するセンサーとして、入手性が
　よいのはジャイロです。手持ちの圧電振動ジャイロを
　利用してみます。



　角度変化は、角速度ですから、積分すると角度になります。
　ジャイロセンサーを使うと、ステップ関数に対する角速度が
　わかります。

　積分回路は出力が反転するので、反転器で位相を元に戻します。



　積分回路では、発散しないようにOPアンプの利得を
　制限しておきます。利得制限がリミッターとしての
　役割を担うので、可変抵抗器にして調整します。

　微分回路では、指令となる信号がある程度まで引伸ばし
　しないと、効果が現れないのでストレッチ処理します。

　遅延回路でストレッチする場合、キャパシタの充電回路
　を使います。



(under construction)

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